Vergessende Funktoren und Ringhomomorphismen

Pareigis, Bodo (1966): Vergessende Funktoren und Ringhomomorphismen. In: Mathematische Zeitschrift, Bd. 93: S. 265-275

Abstract

Ein „vergessender" Funktor (engl. „forgetful") folgender Art wird betrachtet. Seien R, S unitäre, assoziative Ringe und sei .f: S-t R ein unitärer Ringhomomorphismus. Jedem unitären R-Links-Modul .M wird der folgende unitäre S-Links-Modul ,M zugeordnet: die unterliegende abelsche Gruppe sei M, die auch die zu .M gehörige abelsche Gruppe ist, und die Operation von S auf M werde definiert durch s . m : = f (s)m für SES und m E M. Jeder R-Homomorphismus von R-Moduln ist dann auch ein S-Homomorphismus bezüglich der beschriebenen S-Struktur. Durch den Homomorphismus f: S + R wird auf diese Weise ein Funktor L2 (f) von der Kategorie der unitären R-Links-Moduln .'Ub in die Kategorie der unitären S-Links-Moduln ,ab induziert. Dieser Funktor „vergißtcc die R-Struktur von .M und erhält nur die vermöge f definierte S-Struktur. Die „vergessenden" Funktoren treten oft in der relativen Homologietheorie auf (z.B. in MACLANEH: omology). MORITA [5] verwendet gewisse vergessende Funktoren zur Charakterisierung von Frobeniuserweiterungen. Er entwickelt damit einen großen Teil der bisher bekannten Theorie der Frobeniuserweiterungen. Wir wollen in dieser Arbeit einige grundlegende Tatsachen über die Theorie der vergessenden Funktoren entwickeln, die sofort erkennen lassen, daß die vergessenden Funktoren alle kategorietheoretischen Eigenschaften einer Ringerweiterung enthalten und daher geeignete Objekte zum Studium von Ringerweiterungen sind. Mit dieser Auffassung ergeben sich als naturgemäße Folgerungen der Theorie einige bekannte Sätze aus der Ringtheorie, wie etwa die Sätze über den Endomorphismenring einer Frobeniuserweiterung (Folgerung 5.3).

• Dokumententyp: Zeitschriftenartikel
• Fakultät: Mathematik, Informatik und Statistik > Mathematik
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
• Sprache: Englisch